Sei eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Die Folge der Partialsummen

heißt unendliche Reihe und wird mit genannt.

Konvergiert die Folge , so wird ihr Grenzwert ebenfalls mit genannt.

Eine gegebene unendliche Reihe konvergiert also exakt dann, wenn der Grenzwert

existiert. Dieser Grenzwert S wird auch Wert der Reihe genannt. Konvergiert die Reihe nicht, heißt sie divergent.

UnabhÀngig von der Konvergenz setzt man oft

um so der Reihe einen Namen S zu geben. Konvergiert S, dann identifiziert man S mit dem Wert der Reihe.

Der Ausdruck bedeutet also zweierlei:

• Die Folge der Partialsummen.
• Im Falle der Konvergenz den Grenzwert .

Im Folgenden seien die Zahlen a_n immer reelle oder komplexe Zahlen, und die Reihe S definiert als

Notwendige Bedingung
Wenn die Reihe S konvergiert, dann konvergiert die Folge (a_n) der Summanden nach 0 fĂŒr n->∞. Die Umkehrung ist nicht allgemeingĂŒltig (ein Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe).

Majorantenkriterium
Wenn alle Glieder a_n der Reihe S nichtnegative reelle Zahlen sind, S konvergiert und fĂŒr alle n gilt

a_n ≄ |b_n|

mit reellen oder komplexen Zahlen b_n, dann konvergiert auch die Reihe

und es ist |T| ≀ S.

Minorantenkriterium
Wenn alle Glieder a_n der Reihe S nichtnegative reelle Zahlen sind, S divergiert und fĂŒr alle n gilt

a_n ≀ b_n

mit nichtnegativen reellen Zahlen b_n, dann divergiert auch die Reihe

Quotientenkriterium
Wenn eine Konstante C < 1 und ein Index N existiert, sodass fĂŒr alle n ≄ N gilt

dann konvergiert die Reihe S.

Wurzelkriterium
Wenn eine Konstante C < 1 und ein Index N existiert, sodass fĂŒr alle n ≄ N gilt

dann konvergiert die Reihe S.

Integralkriterium
Ist f: [1, ∞) -> [0, ∞) eine nichtnegative, monoton fallende Funktion mit

f(n) = a_n fĂŒr alle n,

dann konvergiert S exakt dann, wenn das Integral

existiert.

Leibniz-Kriterium
Eine Reihe der Form

mit nichtnegativen a_n wird alternierende Reihe genannt. Eine solche Reihe konvergiert, wenn die Folge a_n monoton fĂ€llt und gegen 0 konvergiert. Die Umkehrung ist nicht allgemeingĂŒltig.

• Eine geometrische Reihe konvergiert exakt dann, wenn |z| < 1.

• Die Reihe konvergiert, wenn r > 1 und divergiert fĂŒr r ≀ 1, was mit dem Integralkriterium gezeigt werden kann. Als Funktion von r aufgefasst, ergibt diese Reihe die Riemansche Zeta-Funktion.

• Die Teleskopreihe konvergiert exakt dann, wenn die Folge b_n fĂŒr n->∞ gegen eine Zahl L konvergiert. Der Wert der Reihe ist dann b₁ - L.

Einige wichtige Funktionen können als Taylorreihen dargestellt werden. Diese sind bestimmte unendliche Reihen, in denen Potenzen einer unabhÀngigen Variable vorkommen. Solche Reihen werden allgemein Potenzreihen genannt.

Als Fourierreihe einer Funktion bezeichnet man ihre Entwicklung als Summe von trigonometrischen Funktionen.

• K. Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, Springer, 1996 (Neuauflage)